すうがく雑記～10月上旬～ (10/10更新)
10/1
しかし、一本目のペーパーを早くアップできるようにならないと。
10/9
生きてるで！
10/10
英単語をとんでもない用い方したら、命とりやねえ。
論文書くって大変なんやねえ
実感してて。
楽ではない。
too tough to me.
「バッタの問題」論文、光と影？
前にこういう論文を紹介した。
国際数学オリンピックにおける歴代最難題と評されている、「バッタの問題」に関する論文。この問題を帰納法を用いて解答した例ばかりなので、違う視点から考察（Noga Alon’s combinatorial Nullstellensatz（組み合わせ零点定理）の応用）をしたということであり、ジャンプ値を正の整数に限定せず論理を進めるということで、Van der Monde多項式等の交代式の性質等を用いて、落とし穴が少ない場合のバッタの安全性をきちんと示す部分の展開が実に素晴らしかった。
しかし、問題があった。
私の読解に問題がなければ、指針は示されているものの、結果的には、上記の手法による解答には至っていなかった。
末尾に、帰納法を用いた解答がコンパクトにまとめられていたが。
いつか私が解こうか、いや、きびしそう。
韓国で用いられる、数学関連用語
以前に、このような記事をアップした。
それに関連して、実に几帳面に調査なさってて分かりやすいサイトを見つけたので、紹介させていただく。
長方形は「직사각형（直四角形）」
正方形は「정사각형（正四角形）」
長方形を「直四角形」と表現するのは、立方体の一点から出た三辺のうちの一辺の長さが他とは異なる場合も含めて、直方体と総称することに対応していると考えられる。
p!+p が完全平方数となるのは、やはり・・・だった！（付記：ブロカールの問題との関連）
（pが素数なら）p=2,3のときだけ、p!+p が完全平方数
となる。
答は、それであった。
乏しい知恵駆使して寝食を惜しまず食って寝て、偉大なるこいつと日々格闘してもがいた。
しかし目にした模範解答は、シンプルで洗練されていた。お手上げです。
それにしても、yahooの知恵袋とかでこの問題の質問を検索したけど、誤魔化した解答しか載っていなかった。アカンで。しっかり解答せんかい。
【系】
p!+pではなく、p!+q (qはp以下の素数) と置き換えても、同じ結果である（おそらく）
それと、pのところを、素数ではなく合成数と仮定するとどうなるのか？
n!+n = m^2
ブロカールの問題（n!+1 = m^2）と似ている。
しかし、これは解けそうである。合成数nについて、n!+n = m^2 を満たす解の有無に関しては。
n!+n = m^2
において、
n!+n = n((n-1)!+1)
ここで、 (n-1)!=1×2×3×・・・×(n-2)×(n-1) だから、合成数nは、
n=a×b (a,bは1より大きい整数)
と因数分解ができる。明らかに、a,bはn-1より小さい。
a≠b ならば、{1,2,3,・・・,(n-2),(n-1)}からa,bがそれぞれ抽出できるから、(n-1)!はnで割り切れる。
a=b ならば、a>3のときには、{1,2,3,・・・,(n-2),(n-1)}からa,2aが抽出できて、a×2a=2nだから、(n-1)!はnで十分に割り切れる(*1)。
a≠bのとき、ならびに、a=b>3 のとき、(n-1)!はnで割り切れる。つまり、(n-1)!+1は nで割って余りが1となる。言い換えれば、(n-1)!+1は、nと互いに素な数である。
ゆえに、(n-1)!+1 も n も完全平方数でなければならない。
ということは、
(k^2-1)!+1 = m^2
を満たす自然数の組(k,m)を求める問題に帰着する。
なんと、
n! + 1 = m^2（ブロカールの問題）
の特殊なケースなのである。
上記サイトによると、ブロカールの問題、存在する解については完全解明されていないが、今のところ、(n,m)=(4,5),(5,11),(7,71) しか知られていない。さらに、
Berndt & Galway (2000) は109までの n について計算を行い、その範囲で他の解がないことを確かめた。
だから、かなりの可能性で、
(k^2-1)!+1 = m^2
を満たす自然数の組(k,m)は存在しないと考えられる。
よって、n!+n を完全平方数とする合成数 n が存在する可能性は相当に低いと推測されるが、残念ながら証明ができない。
（(*1)a=b≦2のときは、n=1またはn=4であるが、n=1は題意に沿っておらず、n=4なら、n!+n =4!+4=28で、完全平方数とはならない。）
すうがく雑記～8月下旬～ (8/31更新)
8/21
・博多でバファローズが大勝。こんな日もあるんやね。
・で、最近ずっと格闘中の問題、ふとその解答を発見。あっけなくてショック。であっても、ちょびっと賢うなった気も。まあ、どうして解けなかったのかを反省やね。それが肝心ですな。
・建造物に「素数の階段」は付けない方がいい。法則性がないから大ケガする。観光名所として現実にあったら怖い。
8/22
・原子根に関する勉強中です。基礎は大切、しばらく基礎猶予..........
8/23
・ガウスの三角数定理、２とかはどう表現できるんやと疑問だったけど、氷解。０を採用できて、同じ三角数の重複もあり。0+1+1。
・格子点だけを頂点とする多角形の面積が、図形と格子点の位置関係の関数として表現されるピックの定理。シンプルでお見事。日本の数学教育では習わないけど、知ってていい定理。格子点を３頂点とする正三角形の存在可否にも通じるし。
・リュカのキャノンボール問題。1^2+2^2+3^2+…+n^2 が平方数となる場合を求める問題（過去記事を下にはりつけてます）。非自明な解が唯一（n=24の場合）であることをあるサイトで調べた。初等的な証明があるみたい。なお、キャノンボールとは砲丸のこと。睾丸ではありません。それはゴールデン、いやあのね。
8/24
・キャノンボール問題は、x^4 - y^4 = z^2 が自然数の解をお持ちかどうかに帰結することがわかった。それが分かっただけでは果てしなくあかんねんけども。
・うちの奥さんは、ラマヌジャンの名前をなかなか正確に覚えられない。「ラフマニノフ」と呼ぶこともある。それは作曲家やん。
8/25
・オックスフォード大学のマーカス・デュ・ソートイは俳優の玉木宏に似ている。
・友人に誘われて断った京セラドームでの観戦、結果的には行かんで良かったかな。誘ってくれはったのは嬉しかったし、あのブライアントが来てたからまあ行きたかったけど、試合のひどいこと。
8/26
・ウチの父親は、三角関数と対数の違いがあまり分かっていなかったようだ。三角関数と三角関係が異なるものであることは十分に分かっていただろうけど。
・ランダウ記号って近似値であることを表すはずなのに、ランダウ本人は異常なくらい厳格であったらしい。話の分からん類やったんかな。
8/27
・ハーディがリーマンゼータ関数の零点が無数に存在することを発見したのか。やるなあ、あの英国紳士。
8/28
・俺にはまだまだ数学者の資格がない。ドーナツにコーヒーを注いで飲むことが下手だから。
8/29
8/30
・ミンコフスキーは四色問題でしくじったらしい。証明できると豪語してダメで。
・ポアンカレ予想を証明したペレルマンは、今も母親の年金等で生活しているのかな？
8/31
・探し当ててから断続で読んでいた「バッタの問題」の論文、期待したほどではなかった。バッタも夏バテかね。
・数学カフェは良かったね！
ルース＝アーロン・ペア
「数学セミナー 2019.08」（エレガントな解答をもとむ）の答案に関する「逆は成り立たず」
pが素数になるようなkは、3のべき乗である。
しかし、kが3のべき乗であっても、p=(m^k)^2+m^k+1 が素数になるとは限らないのである。
まずこの場合、kが奇数であり、m=2(mod 3)であることが計算からわかる。
m=2と固定する。
k=1 なら、p=(2^1)^2+2^1+1 = 7 で、素数
k=3 なら、p=(2^3)^2+2^3+1 = 64 + 8 + 1 = 73 で、素数
k=5 なら、p=(2^5)^2+2^5+1 = 1024 + 32 + 1 = 1057 = 7 × 151 で、合成数となるのである。
そして、kが3のべき乗でなければ、絶対にpは素数とはならないのである。
