p!+p が完全平方数となるのは、やはり・・・だった！（付記：ブロカールの問題との関連）
（pが素数なら）p=2,3のときだけ、p!+p が完全平方数
となる。
答は、それであった。
乏しい知恵駆使して寝食を惜しまず食って寝て、偉大なるこいつと日々格闘してもがいた。
しかし目にした模範解答は、シンプルで洗練されていた。お手上げです。
それにしても、yahooの知恵袋とかでこの問題の質問を検索したけど、誤魔化した解答しか載っていなかった。アカンで。しっかり解答せんかい。
【系】
p!+pではなく、p!+q (qはp以下の素数) と置き換えても、同じ結果である（おそらく）
それと、pのところを、素数ではなく合成数と仮定するとどうなるのか？
n!+n = m^2
ブロカールの問題（n!+1 = m^2）と似ている。
しかし、これは解けそうである。合成数nについて、n!+n = m^2 を満たす解の有無に関しては。
n!+n = m^2
において、
n!+n = n((n-1)!+1)
ここで、 (n-1)!=1×2×3×・・・×(n-2)×(n-1) だから、合成数nは、
n=a×b (a,bは1より大きい整数)
と因数分解ができる。明らかに、a,bはn-1より小さい。
a≠b ならば、{1,2,3,・・・,(n-2),(n-1)}からa,bがそれぞれ抽出できるから、(n-1)!はnで割り切れる。
a=b ならば、a>3のときには、{1,2,3,・・・,(n-2),(n-1)}からa,2aが抽出できて、a×2a=2nだから、(n-1)!はnで十分に割り切れる(*1)。
a≠bのとき、ならびに、a=b>3 のとき、(n-1)!はnで割り切れる。つまり、(n-1)!+1は nで割って余りが1となる。言い換えれば、(n-1)!+1は、nと互いに素な数である。
ゆえに、(n-1)!+1 も n も完全平方数でなければならない。
ということは、
(k^2-1)!+1 = m^2
を満たす自然数の組(k,m)を求める問題に帰着する。
なんと、
n! + 1 = m^2（ブロカールの問題）
の特殊なケースなのである。
上記サイトによると、ブロカールの問題、存在する解については完全解明されていないが、今のところ、(n,m)=(4,5),(5,11),(7,71) しか知られていない。さらに、
Berndt & Galway (2000) は109までの n について計算を行い、その範囲で他の解がないことを確かめた。
だから、かなりの可能性で、
(k^2-1)!+1 = m^2
を満たす自然数の組(k,m)は存在しないと考えられる。
よって、n!+n を完全平方数とする合成数 n が存在する可能性は相当に低いと推測されるが、残念ながら証明ができない。
（(*1)a=b≦2のときは、n=1またはn=4であるが、n=1は題意に沿っておらず、n=4なら、n!+n =4!+4=28で、完全平方数とはならない。）
