（続）素数pに関して、p!+p が完全平方になるのは、p=2,3だけ？？？？？
素数pに関して、p!+p が完全平方になるのは、p=2,3だけ？？？？？
トライはしておるんじゃがのう（泣）。
p!+p = p((p-1)!+1)
ウィルソンの定理から、(p-1)!≡-1 (mod p)であり、
(p-1)!+1≡0 (mod p)
p!+p = p((p-1)!+1) = p^2 × k(k:整数)と表現できて、
このkが平方数であることを示せばいい。
(p-1)!+1 = p × k
pが十分に大きければ、
(左辺)≡1 (mod 24)
となることが容易にわかる。で、
p≡1 (mod 24)
も成立する。
k≡1 (mod 24)
いろいろ計算して、今、 p≡1,121,169,289,361,529,841,961,1009,1129,1201,1369,1681,1801,1849,1969,2041,2209 (mod 2520)
までは絞れている。
できそうでできん。。(7/27 22:02)
しかし、
p≡17^2,19^2,23^2,29^2,31^2,37^2,41^2,43^2,47^2,53^2,59^2,61^2,67^2 (mod 5005＝5×7×11×13)
までも絞れた。(8/1)
