大相撲の「巴（ともえ）戦」あれこれ

　大相撲における、３力士による優勝決定戦を、「巴（ともえ）戦」と称する。

　くじ引きで、最初に取り組む２力士を選ぶ。１人は土俵下で休む。勝った力士が、休んでいる力士と取り組み、最初に連続で2勝した力士が優勝となる制度である。

　実はこれ、不公平な制度なのだ。

　同じ強さの力士が３人出場すると仮定しても、最初に取り組む２力士の優勝確率は各5/14(35.7％)、最初に休んでいる力士の優勝確率4/14(28.6%)。

　最初の２力士の優勝確率をそれぞれP(1),P(2)、最初に休んでいる力士の優勝確率をP(3)とすると、

　　P(1) + P(2) + P(3) = 1

　　P(1) = P(2)

　　(1/4) + (1/8)P(3) + (1/4)P(3) = P(1)　　

という連立方程式が成立して、その解は、

　　P(1)  = 5/14、P(2)  = 5/14、P(3)  = 4/14

だからである。

　もしここで、連続で取り組んだ力士には、一時的に実力の劣化が生じているとすれば、どうなるであろうか？（一番休むと実力は回復すると仮定する。）

　連続で取り組む力士が勝つ確率  (1-e)/2、負ける確率 1- (1-e)/2 = (1+e)/2 とおくと、

       P(1) + P(2) + P(3) = 1

　　P(1) = P(2)

　　((1-e)/4) + ((1+e)^2/8)P(3) + ((1+e)/4)P(3) = P(1)　

という連立方程式が成立して、その解は、

        P(1) = (5+2e+e^2) / 2(7+4e+e^2)

        P(2) = (5+2e+e^2) / 2(7+4e+e^2)

        P(3) =        (4+4e) / 2(7+4e+e^2)

である。

　今、e=0.2 つまり、連続で取り組む力士が勝つ確率が (1-0.2) / 2 = 0.4 = 40%、負ける確率が60％であったならと仮定して計算した。

　最初の２力士の優勝確率P(1),P(2)は各34.7％、最初に休んでいる力士の確率P(3)は30.7%となる。

　多少ではあるが、改善されていることになる。ただし、実力の劣化～回復という仮定がそう間違っていないという条件付きで。

　まあ、三段目レベルの仮説だろう。

　ただこの巴（ともえ）戦、戦後わずか６度しか実現していない。