整数の問題（等式63^a + 1 = 64^b を満たす自然数a,bは？）

【問題】等式 63^a + 1 = 64^b を満たす自然数a,bを求めよ？

 

　回答、いや解答なんですけど、こんな感じでよいであろうか？

　まず、b=1ならば、a=1とすれば、

(左辺) = 63^1 + 1 = 64 = 64^1 = (右辺)

　だから、(a,b)=(1,1)は、上記の等式を満たす。

　他の解がないかどうかを確かめる。

　b≧2のとき、上記の等式を変形して、

　 63^a  = 64^(b-2) × 64^2 -  1

　この式を成立させるためには、

    63^a ≡  -1(mod 64^2)

を成立させる a が存在することが必要条件である。

　63^1 = 64-1 ≡ 64×1-1 (mod 64^2)

　63^2 = (64-1)(64-1) = 64^2-64×2+1 ≡ 64×(-2)+1 (mod 64^2)

　63^3 = (63^2)(64-1) ≡ (64×(-2)+1)(64-1) ≡ 64×3-1 (mod 64^2)

　63^4 = (63^3)(64-1) ≡ (64×3-1)(64-1) ≡ 64×(-4)+1 (mod 64^2)

       ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

となっていくので、1以上64以下の整数iに対して、

　63^i ≡ (-(-1)^i) (64×i - 1) (mod 64^2) 

である（数学的帰納法で容易に証明できる）。

　任意の自然数は、0以上の整数kを用いると 64k+i と表現できて、 

　63^64 ≡ 1 (mod 64^2) なので、63^(64k+i) ≡ 63^i となる。

　上で調べたように、63^i ≡ -1 (mod 64^2) を満たす1以上64以下の整数 i は存在しない。すなわち、63^n ≡ -1 (mod 64^2) を満たす自然数 n は存在しない。

　ゆえに、b≧2 のとき、等式を満たす自然数の組(a,b)は存在しない。

                           　∴(a,b)=(1,1)

　もう少し、問いを一般化できそうである。