国際数学オリンピックの難問から～バッタの問題～ （5）
前回に作成したゲームのルールを、あらためて整理しよう。
（準備）
攻撃側と守備側に分かれる。4以上の正の整数 nが与えられる。
（手順）
①攻撃側は、異なる正の整数、a(1) , a( 2) ,‥ , a( n)
②守備側は、攻撃側の選択に対応して、n個の正の整数からなる集合Mを作成
③攻撃側は、並べ替えをうまく選び、バッタがM の要素に対応する n点に一度も着地
（結果）
③が成功③が失敗
と整理できる。
さて、このようなルールに沿ったゲームを実行すると、攻撃側が有利と私は予想した。手始めに、n=4の場合をExcelのマクロで調べた。その結果・・・
・a(1)=1,a(2)=3,a(3)=4,a(4)=5 の場合
このときMは、1から12（= (1+3+4+5) - 1）までの整数から4つを選択した集合となり、その個数は、(12)C(4) - 1 = (12×11×10×9) /(4×3×2×1) - 1 = 494 個となる。1を引くのは、M={1,3,4,5}が禁じ手であるため。
結果：M={3,4,5,6},{7,8,9,10},{8,9,10,12}の３通りの場合、守備側の勝ち。
→攻撃側の負け。
・a(1)=1,a(2)=3,a(3)=4,a(4)=6 の場合
Mの個数は、(13)C(4) - 1 = 714 個。
結果：M={8,10,11,13}の場合のみ、守備側の勝ち。
→攻撃側の負け。
ここまでのところ、単純に確率を考えればレアケースであるにせよ、攻撃側の必勝パターンはまだ見つけていない。私のショボさなのか？
と、ここで一つのことに気付いた。
ジャンプを 4回行う場合、4回目のジャンプは4通りの場合がある。ということは、3回目のジャンプの着地点もちょうど 4通りあることになる。実際、(4)C(3) = (4)C(1) = 4 である。
そう、もし守備側が、4通りある3回目の着地点を要素として集合Mを作れば、必ず 3回目のジャンプの着地点が Mの要素となるから、攻撃側の負けである。
すなわち、という条件に加えて、
という条件も追加しなければ、守備側必勝なのである。
またもや整理すると、
（準備）
攻撃側と守備側に分かれる。4以上の正の整数 nが与えられる。
（手順）
①攻撃側は、異なる正の整数、a(1) , a( 2) ,‥ , a( n)
②守備側は、攻撃側の選択に対応して、n個の正の整数からなる集合Mを作成
③攻撃側は、並べ替えをうまく選び、バッタがM の要素に対応する n点に一度も着地
（結果）
③が成功③が失敗
となる。
こうすれば、前出の a(1)=1,a(2)=3,a(3)=4,a(4)=5 の場合、M={3,4,5,6},{7,8,9,10},の 2通りのいずれかを選択すれば、守備側の勝ちで、a(1)=1,a(2)=3,a(3)=4,a(4)=6 の場合、無条件で攻撃側の勝ちとなる。
これで、自明ではない手の有無を問うゲームとなったのではないか。
ただしこのルールであれば、
①守備側の手がないようなジャンプを攻撃側が選択したなら、攻撃側の勝ち。
②守備側の手が存在するジャンプを攻撃側が選択しても、Mに着陸させる数少ない手を思いつかなければ、守備側の負け（攻撃側の勝ち）。
であり、守備側がかなり高度なことを求められる規則である。
したがって、「ゲームらしく」するための工夫が求められるところである。
そこで、こういうのはどうであろうか。
①守備側の手がないジャンプを攻撃側が選択したなら、守備側が「パス宣言」すれば守備側の勝ち。しなければ攻撃側の勝ち。
②守備側の手が存在するジャンプを攻撃側が選択したら、Mに着陸させる手を思いつけば守備側の勝ち。しなければ攻撃側の勝ち。守備側が「パス宣言」すれば、攻撃側の勝ち。
この要素を組み入れると、
（準備）
攻撃側と守備側に分かれる。4以上の正の整数 nが与えられる。
（手順）
①攻撃側は、異なる正の整数、a(1) , a( 2) ,‥ , a( n)
②守備側は、
(i)手がないジャンプだと判断すれば、「パス宣言」する。
(ii)手がないジャンプだと判断すれば、攻撃側の選択に対応して
n個の正の整数からなる集合Mを作成する。ただし、うち少なくとも
③（②(i)の場合）①の攻撃側の手が審判される。（②(ii)の場合）②(ii)の守備側の手
＜結果＞
（②(i)の場合）①の攻撃側の手が、守備できないジャンプであったなら、守備側の勝ち。実は守備できたのなら、攻撃側の勝ち。
（②(ii)の場合）①の攻撃側の手が、ジャンプの順序次第でする
どんなものであろうか？
（つづく）
