「5^a + 2 = 7^b を満たす正の整数 a,b を求めよ」系統の問題

　大学入試問題でもしばしば拝見するこのパターンの問題が、とても面白い。

　単純で、ある程度の体力が必要で、どこで収束に向かうのかが未知で、それでいて大体いつかは解けていく。

　解答は千差万別なのであろう。採点者は大変である。いちいち読んで考え込まなければならないし。

　解くのも作るのも、楽しい。少なくとも今の私には。

　作るのは特に簡単で。

　3^a + 1 = 4^b

　5^a + 2 = 7^b

　3^a + 2 = 5^b

　3^a + 4 = 7^b

　　・・・・・・・

　まあ、ざっと、こんな形の式たちを作ればいいのである。

　上の式群を見ると、共通点に気づくはずだ。

　3 + 1 = 4, 5 + 2 = 7, 3 + 2 = 5, 3 + 4 = 7

　そう、左辺において、 aを指数に持つ基数の値と、定数項の値を足した値が、右辺において、 bを指数に持つ基数の値と等しいのである。

　で、いろいろ解いていくと、ほぼほぼ結論は似ているのである。。

　式を満たすa,bの値は、たいていの場合、a=b=1のみなのである。

　無論、なぜ他の解があり得ないのかを証明しなければならないが。

　昔、あのフェルマーの最終定理（当時はフェルマー予想）に世の数学者たちが挑んでいた頃も、ざっとこういう手法で汗をかいていたのではないだろうか。