すうがく事始 ～ f(x＋2) - 2f(x＋1) ＋f(x) ＝ 0

　今日から、数学のブログを開始。よろしくお願いしたい。

　私には、４０年近く記憶に残っている大学入試問題がある。

　f(x)は、ｘを変数とする整式である。

任意のｘに対して、

　　f(x＋2) - 2f(x＋1) ＋f(x) ＝ 0

が成立する。これを満たすf(x)を求めよ。

　という問題。

　通常であれば、

　　f(x) ＝ a(1)x^n + a(2)x^(n-1)+･･･+a(n)x+a(n+1)

とおいて係数比較するのが常道だろう。

が、そうしなかった。当時私は大学生であり、ふとしたきっかけで母校の後輩の指導をしていたが、へそ曲がりなのか、平均値の定理を用いた。こんな具合であった。

　f(x＋2) - 2f(x＋1) ＋f(x) ＝ 0　だから、

　f(x＋2) - 2f(x＋1) ＋f(x) ＝ (f(x＋2) - f(x＋1)) - (f(x＋1) - f(x)) ＝ 0

　ここで平均値の定理を用いると、

　x＋1＜a＜x＋2 を満たすある実数 a が存在して、

　f ' (a) ＝ ( f(x＋2) - f(x＋1) ) / ( (x＋2) -  (x＋1) )  ＝  f(x＋2) - f(x＋1) 

   同様に、 x＜b＜x＋1 を満たすある実数 b が存在して、

    f ' (b) ＝ ( f(x＋1) - f(x) ) / ( (x＋1) -  (x) ) ＝  f(x＋1) - f(x) 

        ∴　f ' (a) ＝  f ' (b)

    x＜b＜x＋1＜a＜x＋2 つまり b＜a だから、再び平均値の定理を用いると、

b＜c＜aを満たすある実数 c が存在して、f(x)を x で二回微分した関数 f '' (x)に関して、

                f '' (c) ＝ ( f ' (a) - f ' (b) ) / ( (a) -  (b) )＝0 / (a -  b) 

                          ＝0

が成立する。

　これが任意の x に対して成立するから　f '' (x) ＝ 0 を満たす x は無数に存在する。

もし f '' (x)が x のn次の整式（nは正の整数）ならば、 f '' (x) ＝ 0を満たす実数の値は、たかだか n個であり、矛盾する。

すなわち、f '' (x) は定数値となり、

　　　　f '' (x)  ≡  0 

　　∴　f  (x)  ≡  a x  + b　（a,bは定数）

という形の一次式となる。

　だけどこれ、高校生レベルの解法として、適切だろうか。