前回の続き ～ f(x＋2) ー2f(x＋1) ＋f(x) ＝ 0
前回のつづき・・・
f(x)は、ｘを変数とする整式である。
任意のｘに対して、
f(x＋2) ー2f(x＋1) ＋f(x) ＝ 0
が成立する。これを満たすf(x)を求めよ。
という問題を、係数比較法ではなく、平均値の定理を複数回用いることによって、二回微分した関数 f '' (x) が恒常的に定数0となることを示し、この f '' (x) を逆に二回積分することによって、
f (x) ≡ a x + b（a,bは定数）
を導いた。
変数ｘに制約は存在しないから、明らかに、
f(x)は、ｘを変数とする整式である。
任意のｘ、及び任意の定数 k に対して、
f(x＋2k) ー2f(x＋k) ＋f(x) ＝ 0
が成立する。これを満たすf(x)を求めよ。
と問題を変形しても、意味は同じである。
この入試問題、式の部分を、
f(x＋4038) ー2f(x＋2019) ＋f(x) ＝ 0
と変形をして出題する変な大学があるかもしれない。
ないかな？
（cf）等差数列
